Question

曲线所围平面图形绕直线旋转所得旋转体体积

Answer 1

采用坐标变换的观点来求解。将曲线y=f(x)和直线y=mx+b同时向下平移b个单位，那么只要求y=f(x)-b绕直线y=mx旋转得到的几何量即可。其中f(x)的两个端点坐标分别为(p,f(p)-b)和(q,f(q)-b)。,

下面构造线性变换A，其将直线y=mx上的点(1,m)变换到点(0,1)。并限制A*sqrt(1+m²)是旋转变换。

那么

反过来，有

因此，平移后图上的点(x,y)对应于此时的点(X,Y)。

这时候就把问题转化为绕x轴旋转的问题了。最后的结果需要乘上相应的线性变换矩阵的行列式，即1+m^2.