Question

∫(xe^arctanx)/(1+x²)^3/2dx等于多少

Answer 1

∫ sint*e^tdt=e^t(sint-cost)/2+C

解题过程如下：

设x=tant,t=arctanx,dx=(sect)^2dt

cost=1/√(1+x^2),

sint=x/√(1+x^2)

原式=∫ tant*e^t*(sect)^2dt/([1+(tant)^2]^(3/2)

=∫ tant*e^t*(sect)^2dt/(sect)^3

=∫ sint*e^tdt

=e^t(sint-cost)/2+C

=e^(arctanx)[x/√(1+x^2)-1/√(1+x^2)]/2+C.

=e^(arctanx)/2[(x-1)/√(1+x^2)+C.

对∫ sint*e^tdt用分部积分,

u=sint,v'=e^t,

u'=cost,v=e^t,

∫ sint*e^tdt=e^tsint-∫ e^tcostdt,

∫ e^tcostdt

设u=cost,v'=e^t,

u'=-sint,v=e^t,

∫ e^tcostdt=cost*e^t+∫ e^tsintdt

∴∫ sint*e^tdt=e^tsint-cost*e^t-∫ e^tsintdt,

∴∫ sint*e^tdt=e^t(sint-cost)/2+C.

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

设x=tant,t=arctanx,dx=(sect)^2dt
cost=1/√(1+x^2),
sint=x/√(1+x^2)
原式=∫ tant*e^t*(sect)^2dt/([1+(tant)^2]^(3/2)
=∫ tant*e^t*(sect)^2dt/(sect)^3
=∫ sint*e^tdt
=e^t(sint-cost)/2+C
=e^(arctanx)[x/√(1+x^2)-1/√(1+x^2)]/2+C.
=e^(arctanx)/2[(x-1)/√(1+x^2)+C.

对∫ sint*e^tdt用分部积分,
u=sint,v'=e^t,
u'=cost,v=e^t,
∫ sint*e^tdt=e^tsint-∫ e^tcostdt,
∫ e^tcostdt
设u=cost,v'=e^t,
u'=-sint,v=e^t,
∫ e^tcostdt=cost*e^t+∫ e^tsintdt
∴∫ sint*e^tdt=e^tsint-cost*e^t-∫ e^tsintdt,
∴∫ sint*e^tdt=e^t(sint-cost)/2+C.

Answer 4