Question

用数学归纳法证明：2（√（n+1）-1）＜1+1/√2+1/√3+…+1/√n＜2√n

Answer 1

证明：
（1)n=1时，2(√2-1)=2/(√2+1)＜1＜2√1 此时不等式成立。
(2)设n=k时，不等式成立，即：2[√（k+1）-1]＜1+1/√2+1/√3+…+1/√k＜2√k
---(1)
由于：
2[√（k+2)-1]-2[√（k+1)-1]
=2[√（K+2)-√（K+1)]
=2[√（K+2)-√（K+1)][√（K+2)+√（K+1)]/[√（K+2)+√（K+1)]
=2/[√（K+2)+√（K+1)]
<2[√（K+1)+√（K+1)]=1/√（K+1)
即：2[√（k+2)-1]-2[√（k+1)-1]<1/√（K+1)
－－（2)
2√(k+1)-2√k
=2[√(k+1)-√k][√(k+1)+√k)]/[√(k+1)+√k]
=2/[√(k+1)+√k]
>2[√（K+1)+√（K+1)]=1/√（K+1)
即：1/√(K+1)<2√(k+1)-√k
－－－－（3)
由(1)(2)(3)得：
2[√（k+2）-1]＜1+1/√2+1/√3+…+1/√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)
故n=k+1时，不等式成立。
综合有原不等式成立。