Question

高数_极限题目求解

请问这么解为什么不对呢（使用等价无穷小替换）？

Answer 1

每次无穷小代换时都省略了一个更高阶的无穷小，当这个被忽略的无穷小影响最终结果时，就不对了。因此用无穷小代换必须对代换精度有深刻了解

Answer 2

你的解法漏了一个非零项：
原级限 = lim{x->oo} e^[x^2ln(1+1/x) - x]
= lim{x->oo} e^[x^2(1/x - 1/(2x^2)) - x], ln(1+1/x)展开后取两项才合理
= lim{x->oo} e^[x-1/2 - x]
= e^(-1/2)

Answer 3

上下要同时进行计算，你的这种做法是把分母搁置了，对于整体的次方时可以进行化简，但是对于分子分母单个的化简时要先合并。即把分母的x次方整合到分子的次方处，进而进行求极限。

Answer 4

用二阶等价无穷小替换就对了，ln(1+1/x)~1/x-1/2x²，分子等价于e^(x-1/2)，除以分母等于e^(-1/2)。因为分母有e^x，所以要高一阶的等价无穷小替换。

追问

不好意思我不太明白，为什么分母有e^x，所以要高一阶的等价无穷小替换呀？

追答

因为分子除以分母，相当于e^(x²ln(1+1/x)-x)

用一阶无穷小，x就减完了，而且也要算到常数才行

Answer 5

可以的。∵1/x→0，ln(1+1/x)=1/x-(1/2)/x²+O(1/x²)，∴ln(1+1/x)~1/x-(1/2)/x²。
∴(1+1/x)^x²=e^[x²ln(1+1/x)]~e^(x=1/2)。∴原式=e^(-1/2)。