Question

极坐标系中，如何求一次函数的积分？

Answer 1

θ=0，r=2a，θ=π，r=0，关于极轴对称。

1、极轴左边：

V=∫（0,2a）πy²dxx

=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ

=a(cosθ+cos²θ)dx

=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθy

=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ

=a(sinθ+sinθcosθ)，

代入：V=∫（0,2a）πy²dx

=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ

=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ

=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ

设t=cosθV=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt

=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt

=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt

=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt

=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）=πa³(1+2-1/2-1-1/3)=πa³(2-5/6)=7πa³/6

2、极轴右边：

r=a（1+cosθ）a＞0

r²=ar+acosθ

=ar+ax

对原式进行两边积分

原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0）

= （π/2）（a²/4十（1/6a）（a³-0））

= （π/2）（a²/4十a²/6）

=πa（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）（-a/4,0）

=πa³/6

扩展资料

积分性质

1、线性性

积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

2、保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果F中元素A的测度μ （A）等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。 

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对F中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

参考资料来源：百度百科-积分公式