Question

求解二阶常系数非齐次线性微分方程

Answer 1

解：微分方程为y"+ay-b=0，化为y"+ay=b，设微分方程的特征值为p，微分方程的特征方程为p²+a=0，

则当a＞0时，p=±√ai，微分方程的特征根为

sin(√ax)、cos(√ax)；当a＜0时，微分方程的特征根为e^[√(-a)x]或e^[-√(-a)x]

∵微分方程的右式为b ∴方程的特解为y=b/a

∴当a＞0时，微分方程的通解为y=C₁sin(√ax)+

C₂cos(√ax)+b/a(C₁、C₂为任意常数)；当a＜0时，微分方程的通解为y=C₃e^[√(-a)x]+C₄e^[-√(-a)x]+b/a

(C₃、C₄为任意常数)

追问

其他都能理解，只是为什么方程的特解是y=b/a？按照教材上的解法，非齐次的特解分两种形式：f(x)=e^kx·P(x)和f(x)=e^αx·[P(x)cosβx+P(x)sinβx]。本题是属于第一种吗？代进去我求不出来y=b/a

Answer 2

解答如下