Question

如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,BA1⊥AC1.

1)求证:BC⊥平面A1ACC1;

(2)求二面角B-AA1-C的正切值.

Answer 1

（1）A1D⊥面ABC
所以A1D⊥BC
又BC⊥AC
AC∩A1D=D
所以BC⊥面A1ACC1

（2）由（1）知：BC⊥AC1，
又A1B⊥AC1，A1B∩BC＝B
所以AC1⊥面A1BC，所以AC1⊥A1C
所以ACC1A1是菱形

因为D是AC中点，所以∠A1AD＝60°，
作CN⊥AA1于点N，连结BN
易知N为中点，CN＝√3
由（1）知BC⊥AA1，又CN∩BC＝C
所以AA1⊥面BCN
所以∠BNC为二面角平面角

∠BCN=90度，
tan∠BNC＝BC/CN=2/√3＝2√3/3

Answer 2

11