Question

y=ln√(1+t²)的不定积分？

Answer 1

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

Answer 2

如图，分部，望采纳

Answer 3

首先，我们可以使用代换法，令 $u = 1 + t^2$，则 $\mathrm{d}u = 2t , \mathrm{d}t$，从而有：
\begin{aligned} \int \ln\sqrt{1+t^2} \, \mathrm{d}t &= \frac{1}{2} \int \ln(1+t^2) \, \mathrm{d}(t^2) \\ &= \frac{1}{2} \int \ln u \, \frac{\mathrm{d}u}{2t} \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\ln u}{\sqrt{u-1}} \, \mathrm{d}u \end{aligned}∫ln1+t2dt=21∫ln(1+t2)d(t2)=21∫lnu2tdu=41∫u−1lnudu
接下来，我们可以使用分部积分法，令 $f = \ln u$，$g' = \frac{1}{\sqrt{u-1}}$，则有 $f' = \frac{1}{u}$，$g = 2\sqrt{u-1}$，于是有：
\begin{aligned} \int \frac{\ln u}{\sqrt{u-1}} \, \mathrm{d}u &= 2\sqrt{u-1} \ln u - 2 \int \frac{\sqrt{u-1}}{u} \, \mathrm{d}u \\ &= 2\sqrt{1+t^2} \ln (1+t^2) - 2 \int \frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t^2} \, \mathrm{d}(1+t^2) \\ &= 2\sqrt{1+t^2} \ln (1+t^2) - 2 \ln \sqrt{1+t^2} + C, \end{aligned}∫u−1lnudu=2u−1lnu−2∫uu−1du=21+t2ln(1+t2)−2∫1+t21+t2d(1+t2)=21+t2ln(1+t2)−2ln1+t2+C,
其中 $C$ 为常数。因此，原不定积分为：
\int \ln\sqrt{1+t^2} \, \mathrm{d}t = 2\sqrt{1+t^2} \ln (1+t^2) - 2 \ln \sqrt{1+t^2} + C.∫ln1+t2dt=21+t2ln(1+t2)−2ln1+t2+C.

Answer 4

∫ ln√(1+t^2) dt
=(1/2)∫ ln(1+t^2) dt
=(1/2)t.ln(1+t^2)-∫ t^2/(1+t^2) dt
=(1/2)t.ln(1+t^2)-∫ [ 1- 1/(1+t^2)] dt
=(1/2)t.ln(1+t^2)- t +arctant + C