Question

t²sin2t的0-2π的定积分？

Answer 1

积分 t*sin^2(t) dt（t的范围是从0到2π)的解法如下：

首先对被积函数t*sin^2(t)进行变形，可以得到：

t*sin^2(t) = t*(1-cos^2(t)) = t - t*cos^2(t)

因此，原函数的积分可以变形为：

∫t*sin^2(t) dt = ∫[t - t*cos^2(t)] dt

对右边的两项分别进行积分，得到：

∫t dt = t^2/2

∫t*cos^2(t) dt = (t*sin(t)*cos(t)/2) + (1/4)*∫sin(2t) dt

将上述结果合并，可以得到：

∫t*sin^2(t) dt = [t^2/2 - t*sin(t)*cos(t)/2 - (1/4)*cos(2t)]在区间[0,2π]上的值

将t=2π带入，得到：

∫t*sin^2(t) dt = [(4π^2)/2 - 0 - (1/4)*cos(4π)] - [0 - 0 - (1/4)*cos(0)]

化简后得到：

∫t*sin^2(t) dt = 4π^2 - (1/4)

因此，t*sin^2(t)在0到2π范围内的定积分值为4π^2 - (1/4)。