Question

点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4。

那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离和为多少？（过程）

Answer 1

方法很简单 AP+PD=4是关键
作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，先假设P点不和A、D重合
∆APC的面积=AP×CD/2=PE*AC/2 ∴PE=AP×CD/AC
∆BPD的面积=PD×AB/2=PF*BD/2 ∴PF=PD×AB/BD
∵ABCD是矩形 AB=CD=3 AD=BC=4
∴AC=BD=5
PE+PF=AP×CD/AC+PD×AB/BD=AP×3/5+PD*3/5=3(AP+PD)/5=3*4/5=12/5
若P和A点重合 PE=0 即P、A、E共点 PF=12/5
同理如P和D点重合 PF=0 P、D、F共点 PE=12/5
∴ PE+PF=12/5是一个定值 即点P到矩形两条对角线AC和BD的距离和为12/5

Answer 2

做PE⊥AC于E，PF⊥BD于F
做DM⊥AC于M，PN⊥DM于N
则PEMN构成一个新矩形
PE=MN......(1)

∵AB=DC，AD=DA，∠A=∠D=90°
∴△ABD ≌ △DCA
∴∠BDA=∠CAD
又：PN‖AC
∴∠NPD=∠CAD
即：∠NPD=∠PDF

∵PF⊥DF，PN⊥DN
∴∠NPF=∠FDN
又：∠NPD=∠PDF，∠FPD=∠NPD+∠NPF，∠PDN=∠PDF+∠FDN
∴∠FPD=∠PDN

∵PD=DP，∠NPD=∠PDF，∠FPD=∠PDN
∴△FPD ≌ △PDN
∴PF=DN......（2）

∴PE+PF=MN+DN=DM.......（3）

AD=BC=4，CD=AB=3
AC=根号(AD^2+DC^2)=根号(4^2+3^2)=5

∵∠DCM=∠ACD，∠DMC=∠ADC=90°
∴△ DCM ∽ △ ACD
∴DM/AD=DC/AC
DM=AD*DC/AC=4*3/5=12/5

∴PE+PF=DM = 12/5