Question

已知函数f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1，设g(x)=x^2-2bx+4时，当a=1/4时，若对任意0＜X1＜2，存在1≤X2≤2使f(x1)

老师布置了一个寒假作业，急求答案，请高手赐教
使f(x1)≥g(x2),求b的取值范围

Answer 1

问题只需转化为minf(x1)>=maxg(x2).当a=1/4,f(x)=lnx-x/4+3/(4x)-1.求导得f'(x)=-(x-3)(x-1)/(4x^2).令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,（注意到0<x<2）.当0<x<1,f'(x)<0,f(x)递减，当1<x<2,f'(x)>0,f(x)递增，则f(x)极小值为f(1)且此极小值必为其最小值,于是minf(x)=f(1)=-1/2,进一步有g(x)=x^2-2bx+4<=minf(x)=-1/2,在x属于[1,2]恒成立，移项分离常数b后，问题等价于4b>=2x+9/x,在x属于[1,2]恒成立。等价于4b>=max[2x+9/x],x属于[1,2],我们记F(x)=2x+9/x,1<=x<=2,F'(x)=[2(x-3/(2^0.5))(x+3/(2^0.5))]/x^2,易知当1<=x<=2,F'(x)<0,则F(x)递减，maxF(x)=F(1)=11,于是4b<=maxF(x)=11,得b<=11/4即为b的取值范围。

Answer 2

当a=1/4时，在f(x)（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数
所以对任意0<x1<2，有f(x1)≥f(1)=-1/2
又已知存在1≤x2≤2，使f(x2)≥g(x2)
所以-1/2≥g(x2)，1≤x2≤2，
即存在1≤x≤2，使g(x)=x²-2bx+4≤-1/2
即2bx≥x²+9/2，
即2b≥x+9x/2，在【11/2,17/4】范围内
所以2b≥11/2，解得b≥11/4，
即实数b取值范围是[11/4,+∞]。

Answer 3

很抱歉三楼我答的，我写着写着犯了一处笔误，最后面"于是4b<=11",应写成4b>=11,最终结果为b>=11/4。觉得行，可采纳三楼哈。

Answer 4

你的问题还没描述完呢？……使f(x1)怎么了？

Answer 5

题目完整了？