Question

高三解析几何，等用

已知椭圆C的中点在圆心，焦点在X轴上，长轴是短轴长的√3倍，其上一点到右焦点的最短距离为√3－√2。
（1）求椭圆方程。
（2）若直线l：y=kx+m与圆O：x+y=相切，且交椭圆C于A，B两点，求当AOB面积最大时直线l的方程。
第一问会，第二问的方法是什么，能否交代详细点，十分感谢。

Answer 1

在圆心? 在原点O吧、
设椭圆方程 x2/a2+y2/b2=1
a=根号3 * b
a-c=√3－√2
c=根号(a2-b2)
解得 a=根号3 b=1
椭圆方程:x2/3+y2=1
(2)圆O：x+y=相切? 圆O :x2+y2=1吧?
圆心(0,0)到直线l：y=kx+m的距离为=1
直线kx-y+m=0
|m|/根号(k2+1)=1
m2=k2+1
把y=kx+m代入x2/3+y2=1 得
(k2+1/3)x2+2mkx+k2=0
设方程的根为x1,x2 A(x1,y1) B(x2,y2)
x1+x2=-2mk/(k2+1/3) x1x2=k2/(k2+1/3)
(x1-x2)2=(x1+x2)^2-4x1x2=8k2/[3(k2+1/3)2]
(y2-y2)2=k2(x1-x2)2=8k4/[3(k2+1/3)2]
AB=根号((x1-x2)2+(y2-y1)2)=2根号6/3 mk/(k2+1/3)
O点到AB的距离为1
设p=k2
AB2=8k2(k2+1)/[3(k2+1/3)2]=8p(p+1)/[3(p+1/3)2]
设t=p(p+1)/(p+1/3)2
(t-1)p2+(2t/3-1)p+t/9=0
△=(4t2/9-4t/3+1)-4(t-1)t/9=-8t/9+1>=0 t<=9/8
因为p>=0 当方程的两根都小于0则
-(2t/3-1)/(t-1)<0 t/9/(t-1)>0
因为t<=9/8 解得 t<1 和 t<0或者t>1 所以t<0
因为p>=0 所以t>=0
即是 0<=t<=9/8
当t=9/8时
AB2=8t/3=3
AB=根号3
p=1 k=±1 m=±根号2
SAOB最大=根号3/2
所以l方程有4条
y=x+根号2 x-根号2 -x+根号2 -x-根号2

Answer 2

已知椭圆C的中点在原点，焦点在X轴上，长轴是短轴长的√3倍，其上一点到右焦点的最短距离为√3－√2。
（1）求椭圆方程。
（2）若直线l：y=kx+m与圆O：x^2+y^2=r^2相切，且交椭圆C于A，B两点，求当AOB面积最大时直线l的方程。
解：（1）依题意a=b√3，∴c=√(a^2-b^2)=b√2，
a-c=(√3-√2）b=√3-√2，∴b=1,a=√3.
∴所求椭圆方程是x^2/3+y^2=1.①
(2)圆心O到l的距离d=|m|/√(1+k^2)=r?(定值）,m^2=(1+k^2)r^2.
把y=kx+m代入①，整理得
(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0,
△=36k^2*m^2-4(1+3k^2)(3m^2-3)
=12(3k^2-m^2+1)=12[(3-r^2)k^2+1-r^2],
|AB|={√[△(1+k^2)]}/(1+3k^2)，
S△AOB=(1/2)|AB|*d=……
把r的值代入，设k^2=t,用导数求S的最值。
请检查题目，再发问。