Question

已知f(x)=2/3x^3-2ax^2-3x(a∈R)

1.若f(x)在区间（-1,1）上为减函数，求实数a的取值范围
2.若y=f(x)的极大值点与极小值点之差为2a-3,试求实数a的值

Answer 1

(1)
f'(x)=2x^2-4ax-3
f'(-1)≤0①
f'(1)≤0②
由①②解得
-1/4≤a≤1/4
(2)
由韦达定理
x1+x2=2a
x1*x2=-3/2
所以(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2
所以(2a-3)^2=(2a)^2-4*(-3/2)
解得a=1/4

Answer 2

用导数做，对原函数f(x)=2/3x^3-2ax^2-3x求导，设其导数为h(x)
h(x)=f(x)的导数=2*x^2-4ax-3
原函数f(x)在区间（-1，1）上为减函数，说明其导数，即h(x)在区间（-1，1）上恒小于0.
即： 对任意x∈(-1,1) h(x)<0
而h(x)为开口向上的二次函数，即得
h(-1)<0 且 h(1)<0
解得：a∈(-1/4,1/4)

Answer 3

1，见楼上解答，只是导函数应该是小于等于0恒成立，所以最后的答案应该是闭区间的；
2，极值点即为导函数的零点值，故两根之差的绝对值应该等于|2a-3|，建立等式有
（4a^2+6）^(1/2)=|2a-3|，解得a=1/4