Question

设函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+2成立，且函数的图像关于点(0,-2)对称。

若x>0时，f(x)>-2,判断函数在R上的单调性；并解关于x的不等式：1/3f(ax^2)-f(x)>1/3f(a^2 x)-f(a),(a>o)，f(0)=-2

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y)+2
在x,y>=0时，
f(y)>-2,即 f(y)+2>0
所以，我们有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2>f(x)，所以 f(x)在x>0时是增函数。
同时因为函数关(0,-2)对称
对任意x，令x+y=0时，我们有：
f(0)=f(x)+f(-x)+2
即f(x)+f(-x)=-4
而在x>0时，f(x)>-2，所以f(-x)<-2<f(x)
同时，对任意 x,y<0时，有f(x)<-2,f(y)<-2,x+y<x<0
f(x+y)=f(x)+f(y)+2<f(x)
所以在x<0时，也是增函数。
综上所述， f(x)在R上是增函数。

解不等式：
1/3f(ax^2)-f(x)>1/3f(a^2 x)-f(a)
1/3(f(ax^2)-f(a^2x)>f(x)-f(a)
利用f(x)+f(-x)=-4，即 -f(x)=f(-x)+4
原不等式就是：
f(ax^2)+f(-a^2x)+4>3(f(x)+f(-a)+4)
f(ax^2-ax^2)+2>3f(x-a)+6
f(ax^2-ax^2)-3f(x-a)>4
f(ax^2-ax^2)+3f(a-x)+12>4
f(ax^2-ax^2)+3f(a-x)+6>-2
f(ax^2-ax^2+3(a-x))>-2
而f(0)=-2，且f(x)是增函数，所以有
f(ax^2-ax^2+3(a-x))>f(0)
即 ax^2-ax^2+3(a-x)>0
(ax-3)(x-a)>0
a>0，所以 (x-3/a)(x-a)>0
解得：
当 a>√3时， x>a，或者 x<3/a
当 0<a<√3时，x>3/a，或者 x<a
当 a=√3时， x≠a

Answer 2

若x>0时，f(x)>-2,判断：函数在R上的单调增
证明：任取x>0 y>0
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2
∴f(x+y)-f(x)=f(y)+2
∵y>0
∴f(y)+2>0
∵x>0 y>0
∴x+y>x
又∵f(x+y)-f(x)>0且函数的图像关于点(0,-2)对称
∴f(x)在R上单调增

引楼上
“ f(x+y)=f(x)+f(y)+2>f(x)，所以 f(x)在x>0时是增函数。
同时因为函数关(0,-2)对称
对任意x，令x+y=0时，我们有：
f(0)=f(x)+f(-x)+2
即f(x)+f(-x)=-4”
那不就理解为f(0)=-2了么，那下面的证明是否有些怪
x与y都放在了同一定义域。。。

f(x+y)=f(x)+f(y)+2
f(x)+f(y)=f(x+y)-2
1/3f(ax^2)-f(x)>1/3f(a^2 x)-f(a)
f(ax^2)+3f(a)>f(a^2x)+3f(x)
f(ax^2+3a)-6>f(a^2x+3x)-6
f(ax^2+3a)>f(a^2x+3x)
∵f(x)在R上单调增
∴ax^2+3a>a^2x+3x (a>0)
不会⊙﹏⊙b汗

引楼上“ax^2-ax^2+3(a-x)>0
(ax-3)(x-a)>0”
似乎有点小问题