Question

一道关于导函数数学题。

设函数f(x)=a/2×x^2+(x+1)/e^x-1.（1）若a=0，求f(x)的单调区间。（2）若x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。
注意函数f(x)=（a/2乘以x^2）加上(x+1)/e^x再减去1

Answer 1

设函数f(x)=(a/2)x²+[(x+1)/e^x]-1.（1）若a=0，求f(x)的单调区间。（2）若x≥0时，
f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。
解：（1）当a=0时，f(x)=(x+1)/e^x-1.
令f′(x)=[e^x-(x+1)e^x]/e^(2x)=-x(e^x)/e^(2x)=-x/e^x=0
得驻点x=0.
当x<0时，f′(x)>0; 当x>0时，f′(x)<0.
故在区间（-∞,0)内f(x)单调增；在区间（0，+∞）内单调减。x=0是极大点。
极大值f(0)=0.
(2) x≥0时，要使不等式f(x)=(a/2)x²+[(x+1)/e^x]-1≥0恒成立，则必须使
f′(x)=ax-x/e^x=[(ae^x-1)/e^x]x≥0恒成立,也就是要使ae^x-1≥0, a≥1/e^x恒成立,
x≥0时,1/e^x≤1,故a的取值范围为:a≥1.

Answer 2

f(x)=a/2×x^2+(x+1)/e^x-1

题目是怎样不？
是f(x)=(a/2)*x^2+(x+1)/(e^(x-1))?
还是f(x)=(a/2)*x^2+(x+1)/(e^x)-1)?

Answer 3

貌似很简单