Question

已知函数f(x)=x的三次方+ax平方+c在x=-2/3与x=1时都取得极值，若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c的平方恒

成立，求c的取值范围

Answer 1

（1）对f(x)求导，f'(x)=3x2+2ax+b
因为函数在x=-1与x=2处都取得极值
所以f'(-1)=3-2a+b=0；f'(2)=12+4a+b=0
所以a=-3/2，b=-6
所以f(x)=x3-3/2x2-6x+c
因为f(-1)=7/2+c；f(2)=-10+c
所以f(x)在x=-1取得极大值，在x=2取得极小值
所以f(x)在(-∞,-1)递增；在(-1,2)递减；在(2，+∞)递增
（2）因为f(-2)=-2+c；f(3)=-9/2+c
所以在x∈[-2,3],f(x)max=f(-1)=7/2+c
因为对x∈[-2,3],不等式f(x)+(3/2)c＜c2恒成立
所以7/2+c+(3/2)c＜c2
所以-1<c<7/2

Answer 2

（1）f(x)=x3+ax2+bx+c, f′(x)=3x2+2ax+b,由f′(-2/3 )= a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,得a=- 1/2，b=-2，
f′（x）=3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)
所以函数f（x）的递增区间为（-∞，- 2/3）与（1，+∞）；递减区间为（-2/3 ，1）.

（2）f（x）=x^3- x^2-2x+c
x∈〔-1，2〕，当x=-2/3 时，f（x）= 22/27+c为极大值，
而f（2）=2+c，则f（2）=2+c为最大值,故取最大值f(x)max=2+c
要使f（x）＜c^2（x∈〔-1，2〕）恒成立，只须c^2＞f（2）=2+c，
即c^2>2+c
解得c＜-1或c＞2

Answer 3

f'（1）=0，f'（-2/3）=0 a值与c值就可求了啊?????