Question

一道高中椭圆问题.

已知椭圆C:x^2/3+y^2/2=1(a>b>0)的离心率为 根3/3，以 原点为圆心,椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切.
设该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，直线L1过F2且与x轴垂直，动直线L2与y轴垂直，L2交L1于点P，求线段PF1的垂直平分线与L2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.

Answer 1

a=根3 b=根2(Ⅱ) y^2=-4x
由椭圆C:x^2/3+y^2/2=1(a>b>0)的离心率为 根3/3

得： （1）(根a^2-根b^2)/a=根3/3=2a^2=3b^2

又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切。

即原点到直线y=x+2的距离为b，所以b=根2代入到（1）中得a=根3

所以，a=根3 b=根2

指明曲线类型：

方法一：由a=根3，b=根2得F1，F2点的坐标分别为（-1，0），（1，0），

设M点的坐标为（x，y），由题意：P点坐标为（1，y），因为线段PF1的垂直平分线与的交点为M，所以|MF1|=|MP|=根(x+1)^2+y^2=|x-1|=y^2=-4x

故线段PF1的垂直平分线与的交点M的轨迹方程是，y^2=-4x

该轨迹是以F1为焦点，为准线的抛物线。

方法二：因为点M是线段PF1的垂直平分线与l2的交点，故M到点F1的距离与到P点距离即到的距离相等，故M点轨迹是以F1（-1，0）为焦点，为准线的抛物线，故其方程为y^2=-4x

所以，线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程是y^2=-4x，该轨迹是以F1为焦点，l1为准线的抛物线。