Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边为abc,且满足(2a-c)cosB=bcosC,若b=根号下2,求三角形的周长最大值

Answer 1

(2a-c)cosB=bcosC根据正弦定理，可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,移项整理得，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，所以cosB=1/2,再利用余弦定理可得b^2=a^2+C^2-ac=2,所以(a+c)^2-3ac=2,(a+c)^2-2=3ac<=(3/4)(a+c)^2(利用均值不等式），可得(a+c)^2<=8，所以a+c<=2根号2,所以三角形的周长最大值为3根号2（即当三角形是等边三角形周长最大）解答完毕