Question

数学高手来

已知椭圆C的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点，且∠F1PF2=60°，设|PF1|/|PF2|=λ
（1）求椭圆C的离心率e和λ的函数关系式e=f(λ)
（2）若椭圆C的离心率e最小，且椭圆C上的动点M到定点N（0,1/2）的最远距离为根号5，求椭圆C的方程。

Answer 1

分析：为了书写方便记(入=k，k>0)设PF1=r1,PF2=r2, F1F2=2c,注意到r1+r2=2a,r1=kr2,a^2-c^2=b^2，于是由余弦定理得cosF1PF2=(r1^2+r2^2-4c^2)/(2r1r2)=[(r1+r2)^2-2r1r2-4c^2]/(2r1r2)=[4b^2-2r1r2]/(2r1r2)=1/2,得到3r1r2=4b^2,并联立r1+r2=2a,r1=kr2,消去r1,r2可得：3k/(1+k)^2=b^2/a^2=(a^2-c^2)/a^2=1-e^2,解得e^2=(k^2-k+1)/(1+k)^2,从而e=f(k)=(k^2-k+1)^0.5/(1+k)。2）注意到:记t=k+1/k>=2,k>0,当k=1取等号。于是将e^2表达式分子分母除以k,得e^2=(k+1/k-1)/(k+1/k+2)=(t-1)/(t+2)=1-3/(t+2)>=1-3/4=1/4,（e^2随k增而单增）于是当t=2,k=1,e^2有最小值1/4，进而e最小值为1/2.由e^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4易得3a^2=4b^2,椭圆方程可设为x^2/a^2+(4/3)y^2/a^2=1,其参数方程可为x=asinu,y=(3^0.5/2)acosu,0=<u<=2pi,于是M到N的距离平方为：d^2=(asinu)^2+[(3^0.5/2)acosu-1/2]^2=-(1/4)a^2[cosu+(3^0.5)/a]^2+1+a^2.经讨论易得当cosu=-(3^0.5)/a，d^2有最大值:1+a^2=5于是a^2=4,b^2=3,便得椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1，完毕！