Question

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若分（x）的最小正周期是∏，且当x∈【0，∏/2】时，f(x)=si

x
（1）求当x【-∏，0】时，f（x）的解析式；
（2）画出函数分f（x）在【-∏，∏】上的函数简式；
（3）求当f（x）≥1/2时，x的取值范围

Answer 1

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，
且当x∈[0，π/2]时，f(x)=sinx
（1）求当x∈[-π，0]时，f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）在[-π，π]上的函数表达式；
（3）求当f（x）≥1/2时，x的取值范围。
解：（1）x∈[-π/2,0]时，-x∈[0,π/2],f(x)是偶函数，当x∈[0，π/2]时，f(x)=sinx，
∴f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx;
x∈[-π,-π/2]时，x+π∈[0,π/2],f（x）的最小正周期是π，
∴f(x)=f(x+π)=sin(x+π)=-sinx.
综上，x∈[-π,0]时f(x)=-sinx.
(2)x∈[π/2,π]时x-π∈[-π/2,0],f（x）的最小正周期是π，
f(x)=f(x-π)=-sin(x-π)=sinx.
∴f(x)={sinx,x∈[0,π];
{-sinx,x∈[-π,0].
(2)f(x)>1/2=sin(π/6)=sin(5π/6),
∴（k+1/6)π<x<(k+5/6)π,k∈Z,为所求。