Question

一道关于圆锥曲线的数学题

椭圆长轴端点为A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且向量AF*向量FB=1，向量OF的模等于1。
（1）求椭圆的标准方程。
（2）记椭圆的上顶点为M，直线L交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线L，使点F恰为△PQM的垂心？如存在，求出直线L的方程，若不存在，请说明理由。

第一小题我已解出，就不麻烦您跟我讲第一小题了。

Answer 1

1、椭圆方程为x²／2＋y²＝1
2、设P（x1,y1）Q(x2,y2),设直线存在，PQ垂直MF，MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1。PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²－2=0
x1+x2=-4m／3,x1x2=(2m²-2)／3..............①
PF垂直MQ，PF斜率=y1／（x1-1）.MQ斜率=（y2-1）／x2.二者相乘=-1，
即y1(y2-1)／x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4／3。m=1舍去，所求直线方程为y=x-4／3.存在。

Answer 2

由题，c=1，a-c=1，所以a=2，b=√3，方程为x^2/4+y^2/3=1；
第二问；√3y-x-3=0满足。
解法；由F为垂心所以MF与直线PQ垂直，得出直线斜率1/√3；
设直线PQ：√3y-x+b=0
同时由题满足MP垂直于QF，通过设点坐标得，
（1）y1y2+x1x2=√3y1-x2=x1+x2-b
将直线带入椭圆方程得：
（2）x1x2=4b^2-36/1^23 ;
（3) y1y2=（3b^2-12）/13
(4) x1+x2=8/13*b
联立1234式解得b=-3或b=16/7（舍）
综上；√3y-x-3=0满足条件

Answer 3

讨论直线斜率不存在的情况下是否存在L
再讨论斜率存在的情况 设出直线 与椭圆联立，求出x1+x2
x1*x2（韦达定理）需要的话求出Y1Y2 Y1+Y2
然后利用向量的两直线垂直 内积为0 PF*QM=0
即可。
这个向量写起来太麻烦了。
你还是自己一步一步算吧， 这样的题就是根据所给条件硬算
慢慢算就出来了。
加油。希望对你有所帮助，