Question

已知函数f(x)=e^x-mx,若函数g(x)=f(x)-lnx+x^2存在两个零点，求M的范围

Answer 1

分析：注意到定义域x>0,f(x)=e^x-mx，g(x)=e^x-mx-lnx+x^2,由题g(x)=0存在两个零点，即e^x-mx-lnx+x^2=0,有两根，分离常数m,m=(e^x-lnx)/x+x,问题便转化为直线y1=m与曲线y2=h(x)=(e^x-lnx)/x+x,(x>0)有两交点,求导得h'(x)=(xe^x-e^x+lnx+x^2-1)/x^2,下面判断h'(x)的符号，注意到h'(1)=0,并记h'(x)的分子为F(x)=xe^x-e^x+lnx+x^2-1，h'(x)=F(x)/x^2.对F(x)求导易得F'(x)=xe^x+1/x+2x>0,(x>0)知F(x)在x>0上单增，且F(1)=0。显然有当0<x<1,F(x)<F(1)=0,得h'(x)<0，h(x)单减;当x>1,F(x)>F(1)=0,得h'(x)>0,h(x)单增。于是h'(x)=0,仅有唯一驻点x=1,并有h(x)在x=1处取得极小值，且此极小值必为其最小值，于是minh(x)=h(1)=e+1,从而要使直线y1=m与曲线y2=h(x)=(e^x-lnx)/x+x,(x>0)(图像为U型）)有两交点，易得m取值范围为:(e+1,+无穷)，仅参考，觉得行可采纳。