Question

一道高中数学题，题目如下：

在数列{an}中，a1=2,在数列{an}中，a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）
(1)证明数列{an-n}是等比数列
(2)设数列{an}的前n项和Sn，求S(n+1)-4Sn的最大值。

Answer 1

(1)An+1=4An-3n+1
An+1-(n+1)=4An-4n
An+1-(n+1)=4(An-n)
[An+1-(n+1)]/[(An-n)]=4
即：An-n是等比数列
An-n=4^(n-1)
An=4^(n-1)+n
于是Sn=4^0+4^1+4^2+4^3+...+4^(n+1)+n(n+1)/2=1/3(4^n-1)+n(n+1)/2

(2)an=n+4^(n-1)，
Sn=n(n+1)/2+(4^n-1)/3，
S(n+1)-4Sn=(n+1)(n+2)/2-2n(n+1)+1=1/2(1-n)(3n+4)≤0，
当n=1时取最大值为0。

Answer 2

(1)a(n+1)-(n+1)=4(an-n)，所以{an-n}是等比数列。
(2)an=n+4^(n-1)，Sn=n(n+1)/2+(4^n-1)/3，S(n+1)-4Sn=(n+1)(n+2)/2-2n(n+1)+1=1/2(1-n)(3n+4)≤0，等号当且仅当n=1时取到，所以最大值为0。