Question

一道高中数学证明题

已知0〈a〈2c，0〈b〈2a，0〈c〈2b
求证：根号（b²（2c-a））+根号（c²（2a-b））+根号（a²（2b-c））≤3×根号abc
难度应该不大，可能用基本不等式或柯西不等式就可以了。可我就想不出，请各位高手帮忙，谢谢

Answer 1

关键是将不等式加以变形。
证明：将原不等式左右两边平方：
s=（根号（b2（2c-a））+根号（c2（2a-b））+根号（a2（2b-c）））^2≤(3×根号abc)^2=9abc
由柯西不等式，(1+1+1)(b^2(2c-a)+c^2(2a-b)+a^2(2b-c))>=(根号（b2（2c-a））+根号（c2（2a-b））+根号（a2（2b-c））)^2=s
故原不等式成立的充分条件为：9abc>=(1+1+1)(b^2(2c-a)+c^2(2a-b)+a^2(2b-c))
即3abc>=b^2(2c-a)+c^2(2a-b)+a^2(2b-c)=ab(2a-b)+ac(2c-a)+bc(2b-c)
也即abc-ab(2a-b)+abc-ac(2c-a)+abc-bc(2b-c)>=0
即ab(c+b-2a)+ac(a+b-2c)+bc(a+c-2b)>=0
对于任意给定a,b,c ，因为该不等式具有a,b,c的轮换等价性
不妨设a>=b>=c>=0
则a+b-2c>=0
b+c-2a<=0
故ac(a+b-2c)>=bc(a+b-2c)
而ab(c+b-2a)+ac(a+b-2c)+bc(a+c-2b)>=ab(c+b-2a)+bc(a+b-2c)+bc(a+c-2b)
=ab(c+b-2a)+bc(2a-b-c)=(2a-b-c)(b-a)c>=0
该式显然成立。
原命题得证。