Question

已知函数f(x)=x+1/x （1）求证函数f(x)为奇函数 （2）用定义证明：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数。

已知函数f(x)=x+1/x （1）求证函数f(x)为奇函数 （2）用定义证明：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数。

要详细过程。谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢。

Answer 1

(1) f(-x) = (-x) + 1/(-x) = -(x+ 1/x) = -f(x)
(2)这是对勾函数
设1<x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+1/x1-1/x2=(x1-x2)-(x1-x2)/(x1x2)=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
因为1<x1<x2 ；所以1-1/(x1x2）大于零。因为x1-x2小于零 所以（x1-x2)[1-1/(x1x2)]小于零
所以得证

Answer 2

(1) f(-x) = (-x) + 1/(-x) = -(x+ 1/x) = -f(x)

(2) a > 0, f(x+a) - f(x) = x+a + 1/(x+a) - x - 1/x = a{1 - 1/[x(x+a)]}
x > 1, x+a > 1, x(x+a) > 1
1/[x(x+a) < 1
1 - 1/[x(x+a)] > 0
a{1 - 1/[x(x+a)]} > 0