Question

数列{an}的前n项和记为Sn已知a1=1，an+1=n+2/n*Sn(n=1，2，3，…).求证：（1）数列{Sn/n}是等比数列

（2）Sn+1=4an

Answer 1

证明：
(1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2

又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列

(2)
由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)

又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n)