Question

已知x，y为正实数，且x+2y+xy=30,求xy最大值。 尽可能用多种方法。

我知道正确答案是18。 求过程。。
尽量用多种方法，谢谢。

Answer 1

题：已知x,y＞0,且x+2y+xy=30.求xy的最大值。
【1】用“基本不等式”。
解：∵x,y＞0.
∴由“基本不等式”可知：x+2y≥2√(2xy).等号仅当x=2y时取得。
∴两边同加上xy,再由x+2y+xy=30可得：
30=x+2y+xy≥xy+2√(2xy).即xy+2√(2xy) ≤30.
∴[√(xy)+ √2] ²≤32. ∴√(xy)+ √2≤4√2.
即有√(xy) ≤3√2. ∴两边平方就有xy≤18.
等号仅当x=6,y=3时取得。此时x,y满足x+2y+xy=30.
∴(xy)max=18.
【2】分离，变形，再用“基本不等式”。
解：由x+2y+xy=30可得：x=(30-2y)/(y+1).
∵x,y＞0. ∴0＜y＜15.
∴两边同乘以y,可得：xy=(30y-2y ²)/(y+1).
令t=y+1.则y=t-1.且1＜t＜16.
∴xy=[30(t-1)-2(t-1) ²]/t=34-[2t+(32/t)]
即xy=34-[2t+(32/t)].1＜t＜16.
由基本不等式可知:2t+(32/t) ≥2√(2×32)=16.等号仅当t=4时取得。
∴-[2t+(32/t)] ≤-16.
∴xy=34-[2t+(32/t)] ≤18.即xy≤18.
∴(xy)max=18.

Answer 2

30-xy=x+2y
因为x>0,y>0
则30-xy=x+2y>=2√(x*2y)=2√2*√(xy)
xy+2√2*√(xy)-30<=0
令a=√(xy)>0
a²+2√2a-30<=0
-√2-4√2<=a<=-√2+4√2
即-5√2<=a<=3√2
所以0<√(xy)<=3√2
xy<=18
最大值=18

Answer 3

求最值一般用不等式、减少变量、导数、数形结合、中间数、设三角函数、建系、判别式等方法
不等式：x+2y≥2√2xy 就行了
减少变量：把y=(30-2x)/(2+x)代人xy，再分离常数就行了
中间数：先减少变量，再化简法f(x-1)≤f(x)≥f(x+1)就行了
学会方法是关键
best wish

Answer 4

假设：Y=NX X+2Y+XY=30 即XY=30-X-2Y 即 XY=30-X-2NX 因为 X,Y均为正实数，所以XY的最大值为30-1-2=27

Answer 5

x+2y=30-xy≥2√(2xy)
所以xy-2√(2xy)-30≤0
令xy=t²则
t²-2√2t-30≤0
-3√2≤t≤5√2
因为t≥0所以0≤t≤5√2
所以0≤t²≤50
所以xy最大值50