Question

设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f（x）＞0且f（2）=3

1、判断f（x）的奇偶性和单调性；
2、求f（x）在区间【-2,4】上的最大值和最小值；
3、当θ∈【0，π/2】时，f（cosθ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有θ均成立。求实数m的取值范围。

Answer 1

1.（1）因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，所以有f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，故f(0)=0
又f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0,故f(-x)=-f(x)
函数f(x)的定义域为R，关于x轴对称，所以f(x)是奇函数。
（2） 设x1.x2∈R,且x1>x2.则f(x1)-f(x2）=f(x1)+f(-x2)=f（x1-x2).
因为x1-x2>0,所以f（x1-x2))>0,f(x1)>f(x2）).所以是单调递增函数
2.f(x)单调递增,[f(x)]MIN=f(-2)=-f（2）=-3；[f(x)]MAX=f(4)=2f(2)=6
3.f（cosθ-3）>-f（4m-2mcosθ）=f(2mcosθ-4m)
f(x)单调递增,故cosθ-3>2m(cosθ-2)
2m<(cosθ-2-1)/(cosθ-2)=1-1/(cosθ-2)
因为θ∈[0，π/2],故cosθ∈[0,1]
当cosθ=0时，1-1/(cosθ-2)的最小值是1-(-1/2)=3/2
2m<3/2,m<3/4