Question

在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D在BC边上且∠CAD=∠B

1）求AD的长
2）取AD.AB的中点E.F连接CE.CF.EF,求证△CEF∽△ADB

Answer 1

(1)
在直角三角形ACD和ABC中，因为角DAC=角ABC，角ACB是共用的直角，所以两个三角形相似。
所以AD/AB = AC/BC
所以AD = AC * AB / BC = 根号5
其中AB = 2*根号5 可以在ABC中用勾股定理求得

(2)
因为EF是三角形ABD的中位线，所以EF:BD=1/2
又因为EF//BD，所以角EFC=角FCB
CF是直角三角形ABC的斜边中线，所以AF=FC=FB
即CFB是等腰三角形，角FCB=角FBC，所以角EFC=角FCB=角FBD
FC:AB=1/2，EF:BD=1/2，两边对应成比例且夹角相等，
因此三角形CEF和ADB相似

Answer 2

（1）因为∠CAD=∠B
∠ACD=∠BCA=90°
AC=AC
所以△ACD相似于△BCA
所以AC：BC=AD：AB
因为Rt△ACB中AB=2根号下5
所以AD=根号下5
（2）因为E，F分别为AD和AB的中点
所以在Rt△ACD中斜边AD上的中线CE为AD长度的一半即CE：AD=1:2
同理可得CF：AB=1:2
又有△ABD中EF为中位线，所以EF：BD=1:2
所以CE：AD=CF：AB=EF：BD=1:2
所以△CEF∽△ADB

Answer 3

在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4得AB=√(AC²+BC²)=2√5
∠ACB=90° ∠CAD=∠B得△ACD∽△ BCA 得AC/BC=AD/AB AD=√5
在Rt△ABC中∠ACB=90°,取AD.AB的中点E.F连接CE.CF.EF得EF/BD=1/2，CF=1/2AD,CE=1/2AB 得EF/BD=CF/AD=CE/AB =1/2 得 △CEF∽△ADB

Answer 4

⑴因为∠ACB=90°，∠CAD=∠B
所以Rt△DAC∽Rt△ABC
→AC/AD=BC/BA
AD= 根号5
⑵因为AD.AB的中点E.F
所以CE=1/2AD
EF=1/2DB
CF=1/2AB
所以△CEF∽△ADB