Question

高三数学函数问题

设f(x)为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足f(x+1)=f(x-1) ，f(1-x)=f(1+x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x²-2x。请指出函数f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、最大值和最小值、零点
我知道答案 请简述过程
最大值是2 最小值是0..

Answer 1

解：∵对任意x∈R，都满足f(x+1)=f(x-1)
∴f(x)=f(x+2)即f(x)是以2为最小正周期的周期函数，周期可表示为2K，K∈Z
∵f(1-x)=f(1+x)∴f(x)关于X=1对称
又当x∈[0,1]时，f(x)=x²-2x
∵f(x)=x²-2x关于X=1对称
∴x∈[1,2]时，f(x)=x²-2x，即是说当在函数的一个周期区间[0,2]上有
f(x)=x²-2x=（x－1）²－1
∴可以通过平移f(x)=x²-2x在x∈[0,2]的图像得到其他周期区间上的图像
向左平移2个单位得到在[-2,0]上的图像，其函数表达式为f(x)=（x-1+2）²-1=(x+1)²－1
从函数图像上易得到f(x)在[-1,1]上关于Y轴对称，∴f(x)在[-1,1]上是偶函数
最大值是0，最小值是-1，在[-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减
当X=0时，f(x)=0，∴零点是X=0