Question

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，证明：至少存在一点a属于（0，1），使f（a）

导数等于-f（a）/a。

Answer 1

令g(x)=xf(x)
则g(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且g（1）=0=g(0)
由罗尔中值定理 知有一点a属于（0，1）使得 g`(a)=0
0=g`(a)=f(a)+af`(a)
即f`(a)=-f（a）/a。