已知在Rt△ABC中，c为斜边长，a，b为直角边长，求证：log2[1+(b +c)/a]+log2[1+(a-c)/b]=1
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证明：∵Rt△ABC中，c为斜边长，a，b为直角边
∴ c²=a²+b²
从而 log2[1+(b +c)/a]+log2[1+(a-c)/b]=log2[(a+b+c)/a]+log2[(b+a-c)/b]
=log2[(a+b+c)(b+a-c)/(ab)]
=log2[(a+b)²-c²)/(ab)]
=log2[(a²+2ab+b²-c²/(ab)] ①
∵ c²=a²+b²
∴a²+2ab+b²-c²=c²-2ab-c²=2ab
从而①成为 log2[2ab/(ab)]=log2[2]=1
∴ log2[1+(b +c)/a]+log2[1+(a-c)/b]=1
∴ c²=a²+b²
从而 log2[1+(b +c)/a]+log2[1+(a-c)/b]=log2[(a+b+c)/a]+log2[(b+a-c)/b]
=log2[(a+b+c)(b+a-c)/(ab)]
=log2[(a+b)²-c²)/(ab)]
=log2[(a²+2ab+b²-c²/(ab)] ①
∵ c²=a²+b²
∴a²+2ab+b²-c²=c²-2ab-c²=2ab
从而①成为 log2[2ab/(ab)]=log2[2]=1
∴ log2[1+(b +c)/a]+log2[1+(a-c)/b]=1
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