Question

高二数学圆锥曲线问题

确定m的取值范围，使得椭圆x^2/4+y^2/3=1上有不同两点关于直线y=4x+m对称。

Answer 1

解:
设与直线y=4x+m垂直的弦为y=-1/4*x+b,则
{x^2/4+y^2/3=1,y=-1/4*x+b}
--->13x^2-8bx+16(b^2-3)=0
设弦端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则依韦达定理得
x1+x2=8b/13.
设弦AB中点为M(x,y),则
{x=(x1+x2)/2=4b/13,y=-1/4*4b/13+b=12b/13}
--->M(4b/13,12b/13)
若椭圆上存在关于y=4x+m对称的两个不同的点,则
{12b/13=4*4b/13+m,64b^2-4*13*16(b^2-3)>0}
--->{b=-13m/4,b^2<13/4}
--->m^2<4/13
故:
-(2根13)/13<m<(2根13)/13.