Question

求一道高三数学题解法（关于立体几何）

现有一块正三棱锥形石料,其三条侧棱两两互相垂直,且侧棱长为1m,若要将这块石料打磨成一个石球,则所得石球的最大半径约为0.21m。

请问这个半径是怎样算出来的，谢谢

Answer 1

思路大致如下~~
1.求顶点到底边的距离h.
方法就是面积转换。V=1/3*（1/2*1*1）*1=1/6=1/3*h*s, s为底面面积，很容易求得，就是边长为√2的等边三角形面积。s=√3/2.算得h=√3/3
2.分析h与半径r的关系。想象一下以正三棱锥顶点为坐标原点，三条侧棱为三条坐标轴的空间坐标系（只看第一象限）。往里塞球的话，球应该与三个面都相切，就像被塞在墙角的那种走投无路的感觉。如果球的半径最大，那它还应与底面相切。简单画个图看一下的话，立刻就能得出h与r的关系。
h=(1+√3)*r。
所以r=(√3/3)/(1+√3)=0.21m。

Answer 2

就是相当于求内切球半径
由于其三条侧棱两两互相垂直，棱长已知，所以可以用体积转化一下，即相当于把大三棱锥转化为以四个面为底面，以内切圆半径为高的四个小三棱锥 四面面积 三棱锥体积都可求 就可以解出来了
也不知道说没说明白
希望可以帮到你

Answer 3

Rmax=(3-√3)/6≈0.2113248...