Question

高中综合数学题求解！

Answer 1

因为f（x）=|x-a|+1/x
当a=1时
当x>=1时，f（x）=x-1+1/x,所以f ‘(x)=1-1/x^2>0
所以当1≤x≤2时，f（1）≤f（x）≤f（2），所以1≤f（x）≤3/2，
当1/2≤x≤1时，f(x)=1-x+1/x是一个减函数
所以f（1）≤f（x）≤f（1/2） 所以1≤f（x）≤5/2
所以当a=1时，f（x）的值域为[1,5/2].

当a≤0时，因为x>0,所以f（x）=x-a+1/x，所以f ‘(x)=1-1/x^2=0解得x=1
而当0<x<1时，f ‘(x)<0,此时f（x）单调递减，所以f（1）≤f（x）<f（0），所以1/2<2-a≤f（x）
而当1<x时，f ‘(x)<0,此时f（x）单调递减,所以f（1）≤f（x），所以1/2<2-a≤f（x）
所以f（x）≥1/2恒成立。

当a<=1时，
当x>=a时f（x）=x-a+1/x,所以f ‘(x)=1-1/x^2=0解得x=1
当a<=x<1时，f ‘(x)<0,此时f（x）单调递减，所以f（1）≤f（x）所以2-a≤f（x）
当x>1时，f ‘(x)>0,此时f（x）单调递增，所以f（1）≤f（x）所以2-a≤f（x）
当x<a时，f（x）=a-x+1/x是一个减函数，所以f(1)<f（a）≤f（x）
所以要使得f（x）≥1/2恒成立，则1/2≤2-a，所以a≤3/2.
所以a≤1时，f（x）≥1/2恒成立。
当a>1时。
当x>=a时，f（x）=x-a+1/x是一个增函数，所以f（a）≤f（x），所以1/a≤f（x），
当x<a时，f（x）=a-x+1/x是一个减函数，所以f（a）<f（x），所以1/a<f（x），
所以要使得f（x）≥1/2恒成立，则1/2≤1/a，所以a≤2.
所以1<a≤2时，f（x）≥1/2恒成立。
综上所述，当a≤2时，f（x）≥1/2恒成立。