如图1所示,一张三角形纸片,角ACB=90,ac=8.bc=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 悬赏分：0 | 离问题结束
原题：一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P．
（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
1、解（1）D1E=D2F，
∵C1D1‖C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在RtABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5；
又∵C2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
∵在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高为 ，△BC2D2的面积= 5× =12，
∴设△BED1的BD1边上的高为h，
∵C1D1‖C2D2，
∴△BC2D2∽△BED1，
∴ = ，
∴h= ，
∴△BED1的面积= BD1×h= × = （5-x）2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°；
又∵∠C2=∠B，
∴△C2FP∽△BAC，
∴C2F：BA=PF：AC，
∴PC2= x，PF= x；
∴△C2FP的面积= x2，
故y=△BC2D2的面积-△BED1的面积-△C2FP的面积= x2+ x．（0≤x≤5）
中间看不见的部分给你做了截图。
（2）由题意，D2D1=x，则D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，根据△ABC的面积可得高为 245，设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，所以 h245=5-x5；分别表示出△BED1和
△FC2P的面积，根据重叠部分面积为y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P，可求出y与x的函数关系式，求出最小值即可；解答：解：（1）D1E=D2F．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2，
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；同理：BD1=D1E，
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F；
（2）由题意得AB=10，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，
∴根据△ABC的面积可得高为 245，
设△BED1的BD1边上的高为h，可证△BC2D2∽△BED1，
∴ h245=5-x5；
∴ h=24(5-x)25，S△BED1= 12×BD1×h= 1225(5-x)2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°，
又∵∠C2=∠B，sinB= 45，cosB= 35，
∴ PC2=35x， PF=45x，S△FC2P= 12PC2×PF= 625x2，
∴y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P= 12S△ABC- 1225(5-x)2- 625x2，
∴y= -1825x2+245x= -1825(x-103)2+8；
∴函数y的最小值是8．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质和二次函数的最值等知识，本题涉及的知识点较多，考查了学生的综合运用能力
