Question

若正数x,y满足x+4y=xy,那么使不等式x+y-m>0恒成立的实数m的取值范围是

Answer 1

由x+4y=xy,x,y>0,得1/y+4/x=1,要使x+y-m>0,恒成立，m<x+y,对于x,y>0恒成立，该问题等价于m<min(x+y),又x+y=(x+y)(1/y+4/x)=x/y+4y/x+5>=2[(x/y)*(4y/x)]^0.5+5=9,当仅当x/y=4y/x,即当x=2y取等号，于是m<min(x+y)=9,得m取值范为(-无穷,9)

Answer 2

因为x≥0, y≥0, 所以 x+y≥0,
且x+4y=xy允许x=y=0,
当最小值 x+y=0时，x+y-m=0-m>0，可得m<0

Answer 3

x+4y≥2√4xy
xy≥4√xy
xy≥16

又x+y-m>0
m＜x+y
x+y的最小值：2√xy =8
∴m＜8