Question

已知，在△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC于D，P为AD中点，BP延长线交AC于E，EF⊥BC于F，求证EF²=AE·EC

Answer 1

过P点作PQ⊥AB交AB于点Q，在△CEF和△CAD中，由相似三角形原理得：EF/AD=CE/AC , 变形得:EF/CE=AD/AC...①.在△ABD和△ABC中，由相似三角形原理得：AD/AC=BD/AB....②，由①和②得：EF/CE=BD/AB....③同理在△BPD和△BEF中有：PD/EF=PQ/AE,变形得：AE/EF=PQ/PD.....④在△APQ和△ABD中可得：PQ/BD=AP/AB,由已知条件p为ad中点可得，PD=AP,所以PQ/BD=PD/AB,变形得：PQ/PD=BD/AB....⑤。由④和⑤得：AE/EF=BD/AB....⑥,由③和⑥可得：AE/EF=EF/CE，变形得：EF²=AE×CE