Question

高一数学几何题，高分求解！！急...........

如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为圆心BD为直径的球面交PD于M
(1)求证平面ABM⊥平面PCD
(2)求直线PC与平面ABM所成的角
(3)求点O到平面ABM的距离

Answer 1

首先要弄明白M是什么点，M是以O为球心BD为直径的球面与PD的交点，所以BM垂直于PD，（直径所对圆周角是90°），又知道底面是矩形，所以BA垂直于面PAD，也就是垂直于PD，有知道BA、BM交于B点，所以PD垂直于面MAB，然后PD又在平面PCD上，第一问就OK了~

其实用向量的方法做也很快。
推荐一下向量法：
因为是球面相交于PD产生的M点，所以OM=OB=OD=根号5，又因为三角形BMD，三角形PAB为直角三角形，易算出PB=2根号5，所以在三角形PBD中OM=二分之一BP，所以OM为中位线，M是PD的中点。
以A为原点，AD为X轴，AB为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系，然后可以求出各个点的坐标，用坐标形式的向量计算易求出成交的余弦值或距离。

等你学习完了必修四和选修2-1，你会对立体几何题目有更深的了解，因为现在高考的趋势为了考察计算能力，只能在立体几何和解析几何那两道题提高计算量，现在高考题更适合用向量法解决几何问题，以后你会明白的。加油！

Answer 2

1求证连接AC取PC中点N连接MN
因为底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD
所以PA⊥AB PA⊥AD AD⊥AB PA⊥AC
根据勾股定理PD=4√2 PB=2√5 BD=AC=2√5
因为以BD的中点O为圆心BD为直径的球面交PD于M,所以OM=OD=1/2BD=√5=1/2PB
且点o为BD中点
所以OM时三角形PDM的中位线,
所以点M是PD的中点,
又因为PA⊥AD PA=AD 点N是PC的中点
所以AM垂直PD MN是三角形PCD的中位线,所以MN平行CD
又因为PA⊥AC
所以PC^2=16+20=36 PC=6
因为PC^2=36 PD^2+CD^2=32+4=36
所以CD垂直PD
又因为PA垂直CD PD与PA交于点p
所以CD垂直面PAD
又因为AM在面PAD上,CD平行MN
所以AM垂直CD AM垂直MN
又因为AM垂直PD,PD与CD交于点D
所以AM垂直面PDC
又因为AM在面ABM上,
所以平面ABM⊥平面PCD
2解因为PM垂直MN PM垂直AM
所以PM垂直面ABM
所以MN是PC在面ABM上的射影
所以角PNM是直线PC与平面ABM所成的角
因为PM垂直MN
所以sin角PNM=PM/PN
=2*√2/3
3解因为PD垂直MN,MN为平面ABM与平面PCD的交线,平面ABM⊥平面PCD
所以所以PD垂直面ABM
过点O做OE平行PD,
因为PD与BM交于点M
所以OE于BM相交于点F,OF垂直面ABM
所以OF为点O到平面ABM的距离
因为O为BD中点,OF平行PD
所以OF是三角形BDM的中位线
所以OF=1/2DM=1/4PD=√2
所以 点O到平面ABM的距离为√2