Question

高一的平面向量问题

已知向量a、b、c（上面的箭头我就不标了，大家见谅）和实数λ
则有（a+b）*c=a*c+b*c这个要怎么理解的？或者说能不能简单地证明一下？
（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）→如果这里的λ也变成一个向量，那么这个等式还成立吗

向量a有a*a=|a|^2，推广后可以得到：a^3 -b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，这个我也不是很理解是不是说a^n=|a|^n然后把a看成|a|？？麻烦大家解释下，谢谢！

书上说直线Ax+By+C=0的方向向量v=(-B,A),它的法向量为n=（A,B）
我想说，可以把已知直线平移至通过原点后再来求方向向量和法向量，分别根据k值相等和互为负倒数来解，这样理解对吗？还有哪些解法？这里的方向向量和法向量不是应该是无数多个的吗？那它这样表示是什么意思？麻烦大家，谢谢！

Answer 1

设a(x1,x2,x3,...,xn),B(y1,y1,...,yn),c(z1,z2,...,zn)
则(a+b)c=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)*(z1,z2,...,zn)=(x1z1+y1z1,x2z2+y2z2,...,xnzn+ynzn)=ac+bc

(λa)*b=(λx1y1,λx2y2,...,λxnyn)=λ(ab)=a(λb)

当λ为向量时，不成立
λ(a*b)沿λ方向
(λa)*b沿b方向
a*(λb)沿a方向
明显不等

有(a+b)*c=a*c+b*c
即有分配律
则易证a^3 -b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

方向向量即方向与原直线一样的向量
因为向量可平移，你那么讲没大问题，但当斜率不存在或等于0时就不能这么讲了

因为设a为方向向量，b为法向量，当λ≠0时不存在时，λa也是方向向量，λb也是法向量，有无限多个
这种表示只是方便写出方向向量和法向量而已，有了方程便可直接写出这两个向量，不用算

Answer 2

(a+b)*c=a*c+b*c可以理解为在a与b的合力在c方向上所做的功，等于a力在c方向上所做的功加上b力在c方向上所做的功的和。

Answer 3

空间向量到平面的距离，就是向量的两个端点到平面的距离，取最短的那一个长度，就是空间向量到一个平面的问题。

点到平面向量的距离：先建立空间直角坐标系，x、y、z轴。设该平面为“平面ABC”设该点为P。然后用向量表示向量PA。你事先知道四个点的坐标。A(1,1,1),B(2,2,3),C(0,0,3),P(1,4,2).则向量PA（1-1,1-4,1-2)
向量AB（1-2,1-2,1-3),向量AC(1-0,1-0,1-3)
算得向量PA（0，-3，-1）AB(-1,-1,-2) AC(1,1,-2)
设向量n(x,y,z)垂直于平面ABC
则有：AB·n=0
AC·n=0
得-x-y-2z=0
x+y-2z=0
设x=1,则解得z=0,y=-1
所以向量n(1,-1,0)
向量n与向量PA的夹角设为a
则由公式cos a=cos<n,PA>=((0*1)+(-3*-1)+(-1*0))/（根号下（1平方+（-1）平方+0）*根号下（0+（-3）平方+（-1）平方））
=cos 3/根号18
所以夹角为arccos 3/根号18
择点P到平面ABC的距离为（0+(-3)平方+（-1）平方）* arccos 3/根号18
=10 * arccos3/根号18

啊，终于打完了，不知你看懂没有，这是高中的内容，如果你没看懂的话，可以再复习一下高三数学的课本。
有很多符号打不出来，就用汉字代替了，见谅。
看在我打了这么多的份上，把我的选为最佳答案吧。祝你搞懂这个问题。