Question

已知数列{An}的前n项为Sn，且A1=1 An+1=2Sn，（1）求A2，A3，A4的值 （2）求An

Answer 1

A1+1=2S1 A2=2
A2+1=2S2 A3=4
A3+1=2S3 A4=8
公比为2的等比数列 An=2的n-1次方

Answer 2

解：（1）∵a1=1，
∴a2=2a1=2，a3=2S2=6，a4=2S3=18，
（2）∵an 1=2S1，∴aN=2Sn-1（n≥2），
∴an 1-an=2an，
an 1
an
=3（n≥2）
又
a2
a1
=2，∴数列{an}自第2项起是公比为3的等比数列，
∴an=
1(n=1)
2×3n-2(n≥2)
，
（3）∵bn=nan，∴bn=
1(n=1)
2n×3n-2(n≥2)
，
∴Tn=1 2×2×30 2×3×31 2×4×32 2×n×3n-2，①
3Tn=3 2×2×31 2×3×32 2×4×33 2×n×3n-1②（12分）
①-②得-2Tn=-2 2×2×30 2×31 2×32 2×3n-2-2×n×3n-1
=2 2（3 32 33 3n-2）-2n×3n-1=（1-2n）×3n-1-1
∴Tn=(n-
1
2
)×3n-1
1
2
．

Answer 3

由A1=1 An+1=2Sn可知
取n=2时，2S2=2（A1+A2）=2（1+A2）=A2+1
得A2=-1
同理可得：A3=1；A4=-1
所以猜想An=（-1）^(n-1) 就是-1的n-1次方
证明：1. 令n=1时，A1=（-1)^(1-1)=1 已知可知A1=1成立
2. 假设n=k(k=N), Ak=(-1)^(k-1)成立 则
n=k+1时，A(k+1)=2S(k+1)-1=2(Sk+A(k+1))-1
又2Sk=Ak+1 所以上式化为A(k+1)=-Ak=-(-1)^(k-1)=(-1)(k+1-1) 等式也成立
3. 所以通项An=(-1)^(k-1)成立