Question

如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE垂直BC于点E,PF垂直CD于点F

（1）求证：BP=DP
（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形∴∠BCD=90°，BC=CD ∵AC为对角线 ∴∠ACD=∠ACB =45°∴PF=FC,PE=EC ∵PE⊥BC,PF⊥DC ∴∠PEB=∠PFD=90° =∠ECF ∴四边形PECF为正方形∴ PE=PF, EC=FC ∴DC-FC=BC-EC即 ∵PE=PF,BE=DF,∠PEB=∠PFD=90° ∴△BEP=△DFP(SAS) ∴ BP=DP
(2)不是，假设P在BC上时，BP=DP，则PC=√(PD²-DC²)=√(PB²-BC²)∵PB＜BC∴PC=√(PB²-BC²)＜0,不符合实际情况 ∴P在BC上时，BP=DP 即四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中不是总有BP=DP
（3）DF=BE
∵∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°=∠BCD=∠BCF+∠FCD∴∠BCE=∠FCD
∵CE=CF,BC=CD∴△BEC=△DFC(SAS)∴BE=FD

Answer 2

（1）∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD∵AC为对角线∴∠BAP=∠DAP 又∵AP=AP ∴△ABP=△ADP(SAS) ∴ BP=DP
(2)不是，假设P在BC上时，BP=DP，则PC=√(PD²-DC²)=√(PB²-BC²)∵PB＜BC∴PC=√(PB²-BC²)＜0,不符合实际情况∵∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°=∠BCD=∠BCF+∠FCD∴∠BCE=∠FCD
（3）BE=DF∵四边形ABCD为正方形∴∠BCD=90°，BC=CD ∵AC为对角线 ∴∠ACD=∠ACB =45°∴PF=FC,PE=EC ∵PE⊥BC,PF⊥DC ∴∠PEB=∠PFD=90° =∠ECF ∴四边形PECF为正方形∴ PE=PF, EC=FC ∵∠BCE+∠BCF=90° ∠DCF+∠BCF=90°∴∠BCE=∠DCF∴∴△BEC=△DFC(SAS)∴BE=FD