（高分啊）数学题啊，初二的啊。。求证题，证明题。帮帮忙噻
给分标准：100分（基准分），此100分已经给了
附加：详细度：三题各10分，共三十分
准确度：1：20分，2.3各10分，共四十分。
嘉奖分：如拿到以上170分者，表示感谢，再加30分。。。
务必认真做答啊。。。
1.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作BC、AC、AB的垂线，垂足分别为E、F、D。（图自己琢磨啊）
求证：（1）点P在∠BAC的平分线上
（2）PD=PE=PF
2.已知命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，证明这个命题并写出他的逆命题：逆命题成立吗？（也需证明或举反例）
3.写出命题：等腰三角形两腰上的中线相等的逆命题，并证明他是一个真命题
各位的答案都很好，再等一些时候，如没有更高的高手的话，进行投票把。还有，题目是分别采纳的。。
1、（1） 追逐魏晨的脚步 、 肖瑶如意
（2） 追逐魏晨的脚步、 肖瑶如意
2、柳疏狂、肖瑶如意
3、柳疏狂、肖瑶如意 、 493412146
特别感谢：
493412146 ，虽然你的答案我看不懂，也不是啦，不适合初二，但是对于你的精神，是应该学习的，，不说空话，3Q。
gestepoA，感谢你私下为我解答，对本问题十分 关注，3Q，但是，为什么不发答案上来呢。。。。。。。。。明明可以的啊 展开
1.证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C，用向量知识分析，即要证存在λ，使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A, BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理，有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2，求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP
=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC
=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB
=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)
这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c），使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)
所以AD,BE,CF交于一点．
2.我记得初中的数学课本（人教版）的证明是大致如下的：
对等边三角形的一边作高，所分割的两个小三角形是一个锐角等于30度的直角三角形，根据其三线合一的性质知道，所作的高又是中线。所以那个有一个锐角等于30度的直角三角形，30度角所对的直角边等于斜边的一半。
行乱雹在直角三角形中，如果某一直角边等于斜边的一半，那么这一直角边所对的那个角等档帆于30度。
下面是几何证明方法.
连接定点到斜边的中点 得到AD,
AD=CD=BC=1/2BC
因为AC=1/2BC, 三角形ACD是正三角形, 角C=60, 所以角B=30.
3.两腰上的中线相等的三角形是等腰三角形
先画一个三角形ABC，作AC中线BD，AB中线CE
连DE，延长BC至F，使CF=DF，连DF
因为D，E分别为AC，AB中点
所以DE为三角形ABC中位线
所以DE//CF
因为DE=CF
所以DECF为平行四边形
所以CE//DF
CE=DF
因为BD=CE
所以BD=DF
所以∠F=∠DBC
因为CE//DF
所以∠F=∠ECB
所以∠ECB=∠DBC
因为CE=BD
∠ECB=∠DBC
BC=CB
所以三角形DBC与三角形ECB全等
所以BE=DC
因为BD，CF为中线
所以AB=2BE
AC=2DC
所以AB=AC
所以三角形ABC为等腰三角形
命题得证陪仔
利用全等三角形，就根据你说的，自己画个图看一下吧
BM平分∠ABC
∠DBP=∠EBP
∠BNP=∠BEP=90°
BP=BP
所以△DBP≌△EBP(角边角）
所以PD=PE
同理可证，PE=PM(利用△EPC≌△FPC)
所以PD=PE=PM
在RT△ADP和RT△AFP中
PD=PF
AP=AP
所以AD=AF(利用勾股定理）
所以△ADP≌△AFP
所以∠DAP=∠FAP
所以点P在∠BAC的平分线上
2.
画图，RT△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则∠C=60°
取斜边BC的中点E,连接AE
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
所以AE=EC
∠C=60°
那么△ACE是等边△
所以AC=EC=1/2*BC，得证
逆命题：如果一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°
还是利用刚才的图
AC=EC=EB=AE
那么△AEC为等边△
∠C=60°
∠B=90-60=30°，得证
3.
命题：△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，且CD=BE,那么AB=AC.
证明：
连接DE,则DE‖BC
延长BC到F,使CF=DE
DE与CF平行且相等
所以DEFC为平行四脊咐边形
所以EF与CD平行且相等
所以EF=BE
∠DCB=∠EBC=∠茄贺F
△BCD与△CBE中
∠DCB=∠EBC
DC=EB
BC=CB
所以△BCD≌△CBE(边角边颤野派）
所以BD=CE
所以AB=AC
得证
已赞过
已踩过<
又∵点P为△ABC的角平分线BM、CN交点
∴点P即为三条角平分线交点
∴点P在在∠BAC的平分线上
（2）证明：∵P点到三条边的距离相等
∴PM=PN
又∵PD⊥AB，PF⊥AC
∴∠NDP=∠MFP=90°
∴△NDP≌△MFP（HL）
∴DP=FP
同理，DP=PE
∴PD=PE=PF
2.对等边三角形的一边作高，所分割的两个小三角形是一个锐角等于30度的直角三角形，根据其三线合一的性质知道，所作的高又是中线。所以那个有一个锐角等于30度的直角三角形，30度角所对的直角边等于斜边的一半。
在一三角形中，一锐角为30°，其所对的一边为一邻边的一半，则此三角形为直角三角形。
是真命题
在三角形ABC的斜边上取点D，使得∠CBD=30度
又∠B=90度，所以∠ABD=60度
∵∠A=∠ABD=60度，
∴三角形ABD为等边三角形
所∴AB=AD
又∴∠C=∠CBD=30度
∴△BCD为等腰△
BD=CD
∴AD=BD=CD=AB →AC=2AB
3.逆命题为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形为等腰三角形
证或滑明：
画一个三角形ABC，作AC中线BD，AB中线CE
连DE，延长BC至F，使CF=DF，连DF
因为D，E分别为AC，AB中点
所以DE为三角形ABC中位线
所以DE//CF
因为DE=CF
所以DECF为平行四带锋边形
所以CE//DF
CE=DF
因为BD=CE
所以BD=DF
所以∠F=∠DBC
因为CE//DF
所以∠F=∠ECB
所以∠ECB=∠DBC
因为CE=BD
∠ECB=∠DBC
BC=CB
所以三角形DBC与三角形ECB全等
所以BE=DC
因为BD，CF为中线
所以AB=2BE
AC=2DC
所以AB=AC
所以三角形ABC为等腰三角形
这几道题目蠢团晌其实不难，你要理解命题还有三角形的一些特殊性质
加油~
因为：BM，CN是角平分线
又因为：过点P分别作BC、AC、AB的垂线，垂足分别为E、F、D
所以：PD=PE PF=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以PD=PF
所以：点P在∠BAC的平分线上
（2）.解： 因为：BM，CN是角平分线
又因为颤谨：过点P分别作BC、AC、AB的垂线，垂足分别为E、F、D
所以：PD=PE PF=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以：PD=PE=PF
2.解：设三角孝脊形ABC，∠A=30度，∠B=60度，∠C=90度
过∠C作AB的中线，交AB于茄慎基点D
所以：AB=2CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
所以：AD=DC CD=BD
所以：∠A=∠ACD=30度
∠B=∠BCD=60度
所以：∠BDC=60度
所以：BC=BD
所以AB=2BC
所以：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.解： 等腰三角形两腰上的中线相等，连接等腰三角形两腰上的中线于两腰的交点，这条线段
与三角形底边构成等腰梯形。
证明：因为：等腰三角形两腰上的中线于两腰的交点
所以：这条线段是三角形的中位线
所以：这条线段平行于三角形的底边
所以：这是一个梯形
因为：三角形两腰上的中线相等
所以：这个梯形是等腰梯形
（在你写的时候，可以标上字母，这样更好说明，因为图无法上传，所以我就不标了。）
（1）因为BM平分∠ABC
所以，∠ABP=∠PBC=1/2∠ABC
又因为PD⊥AB，PE⊥BC
所以∠BDP=∠BEP=90°
又因为BP=BP
所以△BDP≌△BEP（A.A.S）
PD=PE
又因为CN平分∠BCA,PF⊥AC，PE⊥BC
同理可证
△CEP≌△CFP（A.A.S）
所以，PE=PF=PD
连接AP
在Rt△APD和Rt△APF中，
PD=PF
AP=AP
∠PDA=∠PFA=90°
所以△ADP≌△AFP（HL）
∠PAD=∠PAF
所以，AP是毁明∠BAC的角平分线。
故有，三角形三个角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。
2，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠BAC=30°
求证：BC=1/2AB
证明：延长BC到点D，使CD=BC
可知CD=BC
AC=AC
∠ACD=∠ACB=90°
所以△ACD≌△ACB （S.A.S）
∠CAD=∠BAC=30°
AD=AB
又因为∠DAB=∠CAD+∠BAC=60°
所以△ABD为等边三角形。
AB=BD
又因为BC=CD=1/2BD
所以BC=1/2AB
逆命题为
在直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半,那么它等于30度。
已知Rt△ABC，∠C=90°，BC=1/2AB
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC到点D，使CD=BC
可知CD=BC
AC=AC
∠ACD=∠ACB=90°
所以△ACD≌△ACB （S.A.S）
∠CAD=∠BAC
AD=AB
又因为BC=1/2AB
CD=BC
所以，BD=2BC=AB
所以△ABD为等边三角形。
∠DAB=60°
又因为∠DAB=∠CAD+∠BAC=2∠BAC=60°
所以，∠BAC=30°
3，逆命题：三角形两边上的中线相等，则这个三角形是等腰三角形。
已知△ABC，CD,BE分别是边AB,AC上的中线，且BE=CD
求证：AB=AC
证明：连接DE
过点E做EF‖CD交BC延长线扮余乎于点F
又因为D,E分别是边AB,AC上的中点
DE‖BC
所以四边形CDEF是平行四边形
EF=CD
又因为BE=CD
所以BE=EF
∠EBC=∠厅悉EFC
又因为EF‖CD
所以∠EFC=∠DCB
所以，∠EBC=∠DCB
在△EBC和△DCB中
∠EBC=∠DCB
BE=CD
BC=CB
所以△EBC≌△DCB （S.A.S）
所以CE=BD
又因为CE=1/2AC
BD=1/2AB
所以，AB=AC
