如图所示,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点。
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见图,ABCD是简樱等腰梯形,∠ACD=60°,所以有△DCO和△ABO都是等边三角形;
△AOD中,S、P分别是OD和OA的中点,可知SP=AD/2,SP//AD。
过点O、C、Q、B作AD的平行线(也与SP平行),如图,构成了6条平行线组成的平行线束:
记AD与SP的距模咐乱离为H1,
记SP与过点O的平行线的距离为H2,
记过点O、C的平行线的距离为H3,
记过点C、Q的平行线的距离为H4,
记过点Q、B的平行线的距离为H5;
由于S、P分别是OD和OA的中点,所以H1=H2;
由于Q是BC的中点,所以H4=H5。
而:
△AOD的面积S1=AD×(H1+H2)/2=AD×H1
△PQS的面积S2=SP×(H2+H3+H4)/2=AD×(H1+H3+H4)/4
根据条件:S2:S1=4:5,即:(H1+H3+H4):H1=16:5,即:H3+H4=H1×11/5
而:
CD:AB=(H1+H2+H3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)
同时:
CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2×H1):(H3+2×H4)
即有:
设m=CD:AB=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)=(2×H1):(H3+2×H4)
=[(2×H1+H3)-(2×H1)]:[(2×H1+H3+2×H4)-(H3+2×H4)]
=(H3):(2×H1)
有H3=2×m×H1,H4=H1×(1-m^2)/m
所以:2×m×H1+H1×(1-m^2)/m=H1×11/5
即:m+1/m=11/5
解得CD:AB=m=(11±√21)/10
两个答案均可,一个是旦档CD<AB的情形(图中的情形),一个是CD>AB的情形。