已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G。求证:BG=DE+DF
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过D做DQ平行AC,交BG于Q
因为BG⊥AC,DF⊥AC,所以BG‖DF,又DQ‖AC,所以DQGF是平行四边形,所以DF=QG
然后来看△BED和△BDQ两个三角形
由于DQ平行AC,所以DQ⊥BG
由于AB=AC,DQ平行AC,所以∠EBD=∠QDB
由∠BQD=∠BED=90°,∠EBD=∠QDB,BD=BD
得△BED≌△BDQ,所以BQ=DE
所以GB=BQ+GQ=DE+DF
因为BG⊥AC,DF⊥AC,所以BG‖DF,又DQ‖AC,所以DQGF是平行四边形,所以DF=QG
然后来看△BED和△BDQ两个三角形
由于DQ平行AC,所以DQ⊥BG
由于AB=AC,DQ平行AC,所以∠EBD=∠QDB
由∠BQD=∠BED=90°,∠EBD=∠QDB,BD=BD
得△BED≌△BDQ,所以BQ=DE
所以GB=BQ+GQ=DE+DF
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