Question

求助数学题，谢谢

设坐标原点为O,y^=2x 与过焦点的直线l 相较于A、B两点，求向量OA和向量OB的乘积

Answer 1

您的抛物线方程是y²=2x吧。
焦点为(p/2,0)=(1，0)
∴AB直线方程是y=k(x-1)（k>0或k<0结论是一样的）
设A,B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
∵y²=2x，y=k(x-1)
联立方程，消去y有：2x=k²(x-1)²
整理：k²x²-2(k²+1)x+k²=0
由韦达定理：x1*x2=k²/k²=1
又∵y1²=2x1，y2²=2x2,
∴y1²*y2²=4x1*x2=4
由图像知，y1*y2<0
∴y1*y2=-2
∵向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
∴AB=(x2-x1,y2-y1)
∵OA*OB=|OA|*|OB|*cosAOB，
cosAOB=(|OA|²+|OB|²-|AB|²)/(2|OA|*|OB|)
∴OA*OB=(|OA|²+|OB|²-|AB|²)/2……①
∵|OA|²=(√x1²+y1²)²=x1²+y1²
|OB|²=(√x2²+y2²)²=x2²+y2²
|AB|²=(y2-y1)²+(x2-x1)²
代入①式，化简：OA*OB=(2x1x2+2y1y2)/2=x1x2+y1y2=1+(-2)=-1
所以向量OA和向量OB的乘积为-1