Question

数学数论题，急！

证明：任给15个互不相同的两位数中，总可以找到4个互不相同的数a,b,c,d,使得a+b=c+d.

Answer 1

证明：设15个数为a（1），a（2），……a（15），b（i）=a（i+1）-a（i），i为1,2,3……14
满足a（1）＜a（2）＜……＜a（15），则b（i）＞0，b（i）属于整数
要使不能找到4个数满足题内条件则b（i）中最多只能有两项相同
由 b（i）=a（i+1）-a（i）得b（1）+b（2）+……+b（14）=a（15）-a（1）
由b（i）＞0，b（i）属于整数且b（i）中最多只能有两项相同得
a（15）-a（1）=b（1）+b（2）+……+b（14）≥1+1+2+3+……+13=92＞90
又∵a（1）最小为10，a（15）最大为99，∴a（15）-a（1）≤89，
这与a（15）-a（1）＞90矛盾
由抽屉原理得：
任给15个互不相同的两位数中，总可以找到4个互不相同的数a,b,c,d,使得a+b=c+d