Question

急！！！已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a大于0，b大于0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a大于0，b大于0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为------
答案是5\3
请详解！！

Answer 1

如图所示，P点在双曲线右支上活动，

P点距左准线的距离等于|PF1|/e，P点距右准线的距离等于|PF2|/e，

两者之比等于|PF1|/|PF2|

∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时，|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1)，（分子分母同除以一个a）

也就是说，当(e+1)/(e-1)＜4时，也有|PF1|/|PF2|＜4

于是，由题中|PF1|=4|PF2|，有(e+1)/(e-1)≥4

对于双曲线有e＞1，所以e+1≥4e-4，e≤5/3

Answer 2

设PF2=x，则PF1=4x
PF1=2a-PF2
4x=2a+x
x=2/3a
若PF1F2为三角形
因为两边之和大于第三边
则5x>2c
x=2/3a
则c/a<5/3
若不为三角形
则c/a=5/3
最大值为5/3