Question

已知函数f(x)=f(x)=|x+1|+|x|...+|x+2011|+|x-1|+||...+|x-2011|,x属于实数，且f(a^2-3a+2)=f(a-1),则满足

已知函数f(x)=f(x)=|x+1|+|x+2|+...+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+...+|x-2011|,x属于实数，且f(a^2-3a+2)=f(a-1),则满足条件所有整数a的值的和是？
已知答案是6，a可以等于1,2,3.求过程！！！

Answer 1

解：f(a^2-3a+2)=[f(a-1)(a-2)]=f(a-1) 所以a=1时得f(0)=f(0)成立又：f(0)=(1+2011)*2011
f(1)=((1+2011)*2011)故f(0)＝f(1) 所以a=2时得f(0)=f(1)成立 当所以a=3时得f(2)=f(2)成立
a可以等于1,2,3.答案是6

Answer 2

首先我们要观察除f(x)这个函数的特性 类似|x-c|型的函数可以看做是到C点的距离
我们来观察一下f(x)的性质，首先f(x)是一个偶函数，那么我们只需要观察X从0到无穷时f的变化性质
可以看出 f(x)是一个单调增函数，仅仅在（0，1）间保持不变 那么想要f(a^2-3a+2)=f(a-1)
那么只有以下可能 1：|a^2-3a+2|《1 且|a-1|《1
2：|a^2-3a+2|=|a-1|

分析到这里了应该不难求出答案了

Answer 3

当两者相等时
首先令
a^2-3a+2=a-1
a^2-4a+3=0
→a1=1 a2=3
当两者不相等时
讨论当x大于2011时，f（x）=4022x此时显然f(a^2-3a+2)不等于f(a-1)
当x大于等于-1或小于等于1时，f（x）=4022，此时令a^2-3a+2大于等于-1或小于等于1且a-1大于等于-1或小于等于1
解得a=2
当x大于1小于2011时，设a等于k，故f（x）=2k^2(化简可得)
把带有a的等式代入2k^2
因为此时a^2-3a+2不等于a-1，令a^2-3a+2=-(a-1）
a^2-2a+1=0
推出a=1 与假设相矛盾
同理当x大于-2011小于-1时也相矛盾
故可知a=1·2·3
此时和为六
提问者！本人花了一个多小时啊！一定要给个好评啊！

Answer 4

由方程可知x的性质有，
1，f(x)=f(x)成立
可得
a^2-3a+2=a-1
2，f(-x)=f(x)
可得
a^2-3a+2=1-a
3，f(0)=f(1)=f(-1)
因为
a^2-3a+2=(a-1)(a-1-1)
所以只有
a-1=1
a^2-3a+2=0

分别解之得
1，a1=1;a2=3
2，a=1
3，a=2
所以，和为，1+2+3=6