Question

已知，二次函数y=ax2-2x+c的图象与X轴交于A,B两点（点A 在点B的左侧），与Y轴交于点C对称轴是过点（1,0）

已知，二次函数y=ax2-2x+c的图象与X轴交于A,B两点（点A 在点B的左侧），与Y轴交于点C对称轴是过点（1,0）且平行于Y轴的直线，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O。
（1）求这个二次函数的解析式
(2)直线y=-1/3x+1交Y轴于D点，E为抛物线顶点，若角DBC=A,，角CBE=B，求A-B的值。
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC,，在Y轴右侧的抛物线上是否存在点M使得三角形BDM的面积的值等于PA平方的值。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) 对称轴过点(1,0), 方程为x = 1= -(-2)/(2a) = 1/a, a = 1
y = x^2 -2x +c = (x-1)^2 + c-1
图象向右平移一个单位后, 二次函数方程为y = (x-1 -1)^2 + c -1 = (x-2)^2 + c - 1
经过坐标原点O: 0 = (0-2)^2 + c -1, c = -3
二次函数为y = x^2 -2x -3

(2)D(0, 1), B(3, 0), DB斜率: -1/3
C(0, -3), BC斜率: 1
E(1, -4), BE斜率: 2
tgA = |[(-1/3 -1)/[1+(-1/3)*1]| = 2
tgB = |(2 -1)/(1+2*1)| = 1/3
tg(A - B) = (tgA - tgB)/(1 + tgAtgB) = (2 - 1/3)/(1 + 2*1/3) = 1
A - B = 45度

(3) P(1, a)
PA^2 = PC^2
(1+1)^2 + (a-0)^2 = (1-0)^2 + (a +3)^2
a = -1
P(1, -1)
PA^2 = 4+1 = 5
DB = √[(3-0)^2 + (0 -1)^2] = √10
三角形BDM的面积的值等于PA平方:
5 = (1/2)*DB*DB上的高
= DB上的高 * √10/2
DB上的高(M与BD的距离) = 10/√10 = √10
设M的坐标为(m, m^2 -2m -3), m>0
DB的方程为：y=-1/3x+1， 改写为 x + 3y -3 =0
M与BD的距离: |m +3(m^2 -2m -3)|/√(1+3^2) = √10
|3m^2 -5m -12| = 10
3m^2 -5m -12 >= 0时：3m^2 -5m -12 = 10
3m^2 -5m -22 = 0
m = -2 (<0, 舍去）或m = 11/3 （验证:m = 11/3时， 3m^2 -5m -12 >= 0）
3m^2 -5m -12＜0时：3m^2 -5m -12 = -10
3m^2 -5m -2 = 0
m = -1/3 (<0, 舍去）或m = 2 （验证:m = 2时， 3m^2 -5m -12<0）
M的坐标为(11/3, 28/9)或(2, -3)